La columna de economía de Adrián Paenza
SEIS
PROBLEMAS BREVES (*)
Los que siguen son
problemas breves para entretenerse en el ascensor, en una sala de espera, en el
tren, subte o esperando en un semáforo.
1) Usted invitó a un
grupo de amigos a su casa para celebrar su cumpleaños. En total (incluyéndolo a
usted) son 12 personas. Para cenar preparó siete pizzas grandes. Naturalmente
usted querría que todo el mundo comiera el mismo número de porciones. ¿Cómo
hacer? Por supuesto, uno podría cortar cada pizza en 12 (doce) y entonces, a
cada uno de sus amigos le tocaría una de las miniporciones en cada pizza. Pero
este método es impráctico. (¿Se imagina cortando cada pizza en 12?) ¿Se le
ocurre alguna otra solución?
2) Usted se
encuentra con dos personas, sabiendo que son siempre consistentes en sus respuestas:
o bien dicen siempre la verdad o siempre mienten. Puede que ambos sean
mentirosos, o que ambos sean siempre sinceros, o incluso que uno mienta y uno
diga siempre la verdad. Se establece entonces el siguiente diálogo con uno de
ellos: «Ustedes dos, ¿son sinceros o mentirosos?», y recibe esta respuesta: «Al
menos uno de nosotros es mentiroso”. Preguntas: la persona con la que usted
habló, ¿es sincera o mentirosa? ¿Y la otra con la que no habló, miente o dice
siempre la verdad?
3) Usted llega a una
cena en un restaurant en donde habrá (en total) cinco personas sentadas en una
mesa circular. A usted le interesa mucho poder conversar e interactuar con una
de las personas presentes. ¿Qué es más probable que suceda: que al sentarse le
toque estar a uno de sus lados o no?
4) Una bebida
gaseosa hace una promoción con sus ‘tapitas’, y deciden pintarlas de cuatro
colores: rojo, amarillo, verde y azul. Para poder acceder a participar en la
premiación, es necesario juntar o bien cuatro tapitas del mismo color, o cuatro
tapitas de los cuatro colores diferentes. Si uno tiene suerte, puede que
comprando cuatro gaseosas sea suficiente: o consigue las cuatro iguales o las
cuatro distintas. Pero esto es poco probable que suceda. La pregunta es: en el
peor de los casos, ¿cuántas gaseosas tiene que comprar para estar seguro de que
puede aspirar al premio?
5) Uno tiene cuatro
dados convencionales, como cuando se juega a la ‘generala’, pero en lugar de
ser cinco se tienen
nada más que cuatro. Los pone en un cubilete y luego de batirlo, arroja los
dados en la mesa. ¿Qué es más probable que suceda: que alguno de los dados
muestre un seis o que no?
6) Piense la
solución de este problema sencillo: “El precio de un traje y una camisa fue de
1.100 pesos. Si el traje cuesta 1.000 pesos más que la camisa, ¿cuál es el
precio de la camisa?”
Respuesta al
problema 1
Lo que uno puede
hacer es cortar tres de las pizzas en cuatro porciones iguales y las otras
cuatro pizzas en tres porciones iguales.
Hecho esto, cada uno
de sus amigos come una de las porciones de las tres pizzas cortadas en cuatro,
y una de las porciones de las cuatro pizzas cortadas en tres. En consecuencia,
todos comen la misma cantidad de pizza.
Respuesta al
problema 2
El que habló con
usted pudo haber dicho algo cierto o falso. Analicemos cada situación. Si la
persona con la que usted habló fuera mentiroso, sería mentira entonces que al menos uno de los dos es mentiroso. ¿Qué
quiere decir esto? Si es mentira que ninguno de los dos es mentiroso es
porque los dos dicen la verdad. Pero
si así fuera, el que habló estaría
diciendo una mentira. Luego, como el que habló no puede decir
simultáneamente algo que sea verdad y mentira, la persona que habló con
usted tiene que haber dicho la verdad. En consecuencia, la frase que dijo («Al
menos uno de nosotros es mentiroso») es verdadera, y como él no lo es, entonces
la otra persona es mentirosa. Y esa es la respuesta: el que habló con usted
dice siempre la verdad y el otro, es mentiroso.
Respuesta al
problema 3
La probabilidad es
la misma, ya que una vez que la persona con la que usted querría poder
conversar ocupa un lugar cualquiera en la mesa redonda, a su lado tendrá dos
sillas, y alejadas, otras dos. Luego, o bien usted ocupará una de esas dos
sillas, o bien alguna de las otras dos. En cualquier caso, si la distribución
es al azar, tendrá tantas posibilidades de estar sentado junto a esta persona
como alejado de ella.
Respuesta al
problema 4
Por supuesto que uno
no puede comprar menos de cuatro gaseosas, porque si no, no hay manera de tener
ni cuatro distintas ni cuatro iguales. Pero ciertamente cinco no son
suficientes, porque usted podría tener dos de un color y tres de otro. Y lo
mismo sucede con seis, siete, ocho e incluso nueve. Es que con nueve podría
darse el caso en que usted tuviera tres de cada uno de tres diferentes colores.
Sin embargo, esto sugiere la respuesta final. (¿No quiere pensarla usted?) Con
diez tapitas, si no hay cuatro de un mismo color, el mayor número que puede
haber de cada una es tres. Pero teniendo tres de cada uno de tres colores,
suman nueve tapitas. La décima, está forzada a ser, o bien de un color distinto
a los tres que usted ya tiene en la mano (con lo cual tendría cuatro tapitas de
cuatro colores distintos), o debería repetir uno de los tres colores que ya
tiene (en cuyo caso, tendría cuatro tapitas de ese color). Moraleja: hacen
falta diez tapitas.
Respuesta al
problema 5
Contemos (usted y
yo) los casos posibles. Es decir, cuando uno arroja los cuatro dados, ¿cuántos
resultados posibles hay? En cada dado puede aparecer cualquiera de los seis
números (del as al seis). Y como cada dado es independiente de los otros, hay
en total 64 = 1.296 posibilidades. Veamos cuántas de
estas tiradas NO contienen un seis. Ahora, lo que uno hace es permitir
que el dado recorra los números del as hasta el cinco. Otra vez, como los
cuatro dados son independientes, uno deduce que hay 54 = 625 formas que
puedan aparecer en la mesa, pero ahora, ninguno de ellos es un
número seis. Luego, del total (1.296) hay un poco menos de la mitad
(625) que no contienen un seis. O sea, como la mitad de 1.296 es 648,
se deduce que más de la mitad (1296 – 625 = 671) contienen
un seis y menos de la mitad, 625, no contienen ningún seis.
Respuesta al
problema 6
El traje cuesta
$1.050 y la camisa cuesta $50. En total, $1.100 y el traje cuesta exactamente
$1.000 más que la camisa (como decía el problema). Una observación: dejé este
problema para el final porque con él me sucedió algo
realmente increíble: absolutamente ¡todas las personas que conozco (y
me incluyo, porque yo me conozco) cometimos el mismo error! La
tentación de creer que es un problema tan
fácil hace suponer que la solución es: «El traje cuesta $1.000
y la camisa cuesta $100». Pero esta respuesta es equivocada, porque el problema
dice claramente que el traje “cuesta
mil pesos más que
la camisa”, y si la camisa costara $100 entonces el traje tendría que costar
$1.100, y en ese caso, el precio de los dos objetos sería de $1.200 y no $1.100
como indica el problema. ¿Notable, no?
(*) El cohete a la luna, 27/9/020
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